La Derrota Ortodrómica: El Triángulo Terrestre (Clase 42)

Viene de Tablas de Estima: el problema inverso (Clase 41)

Tal como habíamos visto en la primera parte de este capítulo, la navegación por el círculo máximo supone variar el rumbo de manera permanente, describiendo un recorrido que se verá en una carta Mercator como una curva con su concavidad hacia el Ecuador. La derrota ortodrómica, en todos los casos, se acerca más al polo elevado que la derrota loxodrómica. Debido a la imposibilidad de navegar variando el rumbo permanentemente, la derrota ortodrómica se emprende siguiendo una línea “quebrada” compuesta por varias loxodrómicas pequeñas, modificando el rumbo cada 200 ó 300 millas aproximadamente, dependiendo del criterio utilizado (Fig. 103).

Para ir desde “A” a “B” por la derrota ortodrómica, se deberá navegar por las loxodrómicas parciales “A-1”, “1-2”, “2-3”, “3-4” y “4-B” respectivamente.

Existen varios métodos para llevar a la práctica este tipo de navegación. Una manera sencilla de hacerlo consiste en conseguir una carta gnomónica de la zona a navegar, y trazar en ella la derrota ortodrómica. Como habíamos visto, esta será en definitiva una línea recta que une ambos puntos (Fig. 104). Una vez hecho esto, se procede a dividir dicha línea en pequeños segmentos a intervalos regulares (200 ó 300 millas), determinando así los puntos en donde debe alterarse el rumbo. Dichos puntos se trasladan luego a las cartas Mercator a partir de sus coordenadas geográficas (latitud y longitud), quedando establecidas así las pequeñas loxodromias que conformarán la ortodromia.

Otra manera de hacer lo mismo se basa en la aplicación de la trigonometría esférica, como veremos a continuación.

El Triángulo Terrestre

Supongamos a un buque que se encuentra en la posición “A” sobre la esfera terrestre, y pretende navegar a la posición “B” por la derrota ortodrómica (Fig. 105). Como ya hemos visto, la distancia mínima entre dichos puntos es el arco de círculo máximo que contiene a los mismos. Dicho arco recibe el nombre de “Arco de Ortodromia”, mientras que la distancia que separa a los puntos “A” y “B” se llama “Distancia Ortodrómica”. Como sabemos, el arco de ortodromia (unidad angular medida desde el centro de la Tierra entre los dos puntos en cuestión), representa la distancia en millas entre ambos puntos ya que, por definición, la milla marina equivale a un minuto de arco de círculo máximo.

Como puede apreciarse en el esquema de la figura 105, entre los puntos “A” (partida), “B” (llegada) y el polo elevado (en este caso el Polo Norte), queda conformado un triángulo esférico al que llamaremos “Triángulo terrestre”.

Analicemos dicho triángulo detenidamente:

• jA es la latitud del punto de partida mientras que jB es la latitud del punto de llegada.

• Dw es la diferencia en longitud entre los puntos de partida y de llegada (wA – wB).

• “Ri” es el “Rumbo inicial” al que deberá comenzar a navegar el buque para seguir la derrota ortodrómica. Como ya dijimos, dicho rumbo deberá alterarse a intervalos regulares. En este caso en particular, los rumbos para las siguientes etapas irán en aumento.

• El lado “A – PN” del triángulo es la “colatitud” del punto de partida, es decir 90o – jA.

• El lado “B – PN” del triángulo es la “colatitud” del punto de llegada, es decir 90o – jB.

• El lado “A – B” del triángulo es la distancia ortodrómica que media entre ambos puntos.

Los datos que tenemos para resolver el triángulo son:

•Loslados“A-PN”y“B-PN”.Dichos lados son las colatitudes de los puntos de salida y de llegada, y contamos con su valor ya que conocemos las respectivas latitudes.

• El ángulo Dw, ya que también conocemos las longitudes de salida y de llegada.

Lo que queremos determinar es:

• El lado “A – B”, es decir la distancia ortodrómica que separa los puntos de salida y de llegada. Recuerde el lector que el valor de dicha distancia era sumamente importante a fin de compararla con la distancia loxodrómica, y determinar de este modo la conveniencia de adoptar un tipo de navegación o el otro.

• El ángulo “Ri” cuyo vértice es el del punto de partida (en este caso “A”). Dicho ángulo permite conocer el rumbo al que se deberá iniciar la navegación siguiendo el círculo máximo. Más adelante veremos el método para continuar con las siguientes etapas de la misma.

Para calcular la distancia ortodrómica a partir de la trigonometría esférica, se puede operar aplicando el teorema del coseno al triángulo terrestre:

cos (A-B) = sen jA x sen jB + cos jA x cos jB x cos Dw

Esta es la fórmula que permite obtener la distancia ortodrómica entre dos puntos a partir de sus coordenadas geográficas: jA, jB y Dw (wA – wB).

Una vez obtenido el valor del coseno de (A-B), sólo resta aplicar el arco coseno y obtener el valor “A – B”. Más adelante veremos esto en un ejemplo.

Aquellos que alguna vez se abocaron al estudio de la navegación astronómica habrán encontrado conocida esta ecuación. Es lógico, ya que la astronavegación se basa en el estudio del triángulo de posición pero en la esfera celeste, razón por la cual las ecuaciones resultantes son idénticas.

Para calcular el rumbo inicial, es decir el ángulo en el punto “A”, puede aplicarse entre otras la fórmula de la cotangente:

cotg Ri = (cos jA x tg jB – sen jA x cos Dw) / sen Dw

Una vez obtenido el valor de la cotangente de “Ri”, se calcula el rumbo inicial aplicando el arco cotangente al resultado obtenido. Una consideración a tener en cuenta es que el ángulo “Ri” obtenido por fórmulas es el ángulo interior del triángulo terrestre. En el caso del ejemplo planteado en el esquema de la figura 105, el “Ri” calculado es el correcto ya que se pretende navegar al Este. Si, por el contrario, se pretendiese navegar de “B” a “A” es decir, hacia el Oeste, el resultado obtenido no será el del rumbo inicial a seguir sino que será el del ángulo interior del triángulo con vértice en “B”. En este caso, el valor del rumbo inicial a seguir surgirá de restar el resultado obtenido a 360o, tal como se aprecia en la figura No 106.

Ri = 360o – B

Para navegar por las pequeñas loxodromias que componen la ortodromia definitiva a partir del concepto del rumbo inicial, el procedimiento a seguir es muy sencillo. Se calcula el rumbo inicial entre los puntos de partida y de llegada, tal como vimos hasta aquí. Como cabe suponer, se estará navegando por una recta tangente a la derrota ortodrómica en el punto calculado. Una vez recorrida una distancia preestablecida (200 a 300 millas es una buena opción), se vuelve a calcular el nuevo rumbo inicial entre la nueva posición y la del punto de llegada. El procedimiento se repite hasta alcanzar el puerto deseado. Este método es sumamente práctico si no se dispone de cartas gnomónicas. Por otra parte, y dado que se requiere de la actualización permanente de la posición, es más efectivo que el gráfico (en el caso de que, por motivos diversos, haya sido necesario apartarse de la derrota prefijada de antemano).

Continua en: La Derrota Ortodrómica: Distancia y Rumbo Inicial (clase 43)

Darío G. Fernández
Director del ISNDF

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