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30/05/2024 by Instituto Superior de Navegación

Tablas de Estima: el problema inverso (Clase 41)

Viene de Tablas de Estima: El problema directo (Clase 40)

El Problema Inverso

La resolución de la estima inversa por medio de las tablas presenta alguna complejidad adicional, si bien el procedimiento acaba resultando sencillo una vez familiarizados con su utilización. Como sabemos, el problema inverso plantea el poder determinar el rumbo verdadero al que se deberá gobernar para unir dos puntos con

coordenadas conocidas, y la distancia que media entre ambos. A los efectos de mejorar la comprensión del lector resolveremos el ejercicio anterior, pero esta vez utilizando las tablas de estima:

• Determinar el rumbo verdadero que se deberá seguir y la distancia a recorrer para navegar desde el puerto de Montevideo, cuyas coordenadas aproximadas son j = 34o 54,5’ S y w = 56o 7,6’ W, hasta Ciudad del Cabo, con coordenadas j = 33o 20,3’ S y w = 18o 25,6’ E.

Dado que sabemos de antemano las coordenadas de salida (j1, w1) y de llegada (j2, w2), calcularemos los valores de Dj y de Dw al igual que lo hicimos por medio de las fórmulas matemáticas:

Dj = j1 – j2 Dj = 34o 54,5’ – 33o 20,3’ Dj = 1o 34,2’ Dw = w1 + w2 Dw = 56o 7,6’ + 18o 25,6’ Dw = 74o 33,2’

Acto seguido se debe determinar el apartamiento. Para ello debe ingresarse en la tabla 1a con la latitud media de la zona (34o) por la parte superior y descender por la columna de diferencia en latitud hasta encontrar el valor de Dw correspondiente. Una vez allí, hay que desplazarse por la fila hacia la izquierda o hacia la derecha hasta encontrar el dato del apartamiento. De no contar con dicha tabla, utilizaremos las páginas principales de la siguiente manera (Fig. 101):

• Ingresamos a la página correspondiente con el valor de la latitud media como si fuera el “Rumbo” (en nuestro caso 34o).

• Una vez hallada la página correspondiente, se ingresa con el valor de Dw, expresado en minutos (74o 33,2’ = 4.473,2’) en la columna “Distancia”, y se obtiene el apartamiento en la columna “N.S.” Aquí ya nos surge una primera complicación: en nuestro caso, el valor

de Dw supera los valores máximos tabulados, ya que el máximo que encontraremos en dicha columna será de 300 millas. Para resolver el dilema utilizaremos la décima parte de Dw, es decir 447’. Al resultado obtenido habrá que multiplicarlo luego por 10.

• Dado que aun así superamos el valor máximo, deberemos descomponer nuestro Dw (447’) en dos partes: por un lado ingresaremos con el valor 300’ y por el otro con 147’.

• Los datos extraídos en la columna “N.S.” simplemente se suman y se multiplican por diez (no olvidar que se ingresó a la tabla con la décima parte de Dw)

A = (121,9’ + 248,7’) x 10

A = 3.706 Mn.

Repetimos nuevamente que es sumamente importante prestar atención a los encabezados de las columnas, ya que cuando se ingresa, como en este caso, tanto con la latitud media como con el rumbo por la parte superior, deben tenerse en cuenta los encabezados de las columnas de arriba; mientras que si se ingresa con los rumbos o latitudes medias que aparecen al pie de la tabla, los encabezados de cada columna deben leerse de la parte inferior. Pues bien, lo que sigue es determinar el rumbo y la distancia a navegar para unir ambos puntos. Para ello será preciso hacer un cálculo previo utilizando la fórmula de la tangente ya vista al comienzo:

tg R = A / Dj tg R = 3.706’ / 94,2’ (el valor Dj ex-

presado en minutos) tg R = 39,3418259

A partir del valor de la tangente obtenido, sería muy sencillo en este punto determinar el rumbo matemáticamente, obrando como vimos con anterioridad, es decir calculando el arco tangente:

R = arc. tg 39,3418259 R = 88,5o

Veremos cómo se hace lo mismo operando con la tabla:

Una vez obtenido el valor de la tangente del rumbo, se debe buscar la página de las tablas de estima que contenga dicho valor, el cual viene expresado en la parte inferior o superior de cada página. En caso de no encontrar el valor buscado, debe utilizarse el más aproximado. En nuestro caso, el valor más cercano encontrado es tg R = 28,64 al pie de la página que contiene los rumbos 88o, 92o, 268o y 272o (Fig. 102). El valor de “tg R” que sigue aparece tabulado en la página siguiente y es de 57,29. Este último corresponde al rumbo 89o. Como sabemos, en el problema planteado el rumbo pertenece al primer cuadrante, por lo que se debería tomar el rumbo 88o o el 89o, descartando los demás. Dado que el valor de la “tg R” obtenido se encuentra comprendido entre los rumbos 88o y 89o, podemos efectuar una interpolación mental aproximada, determinando así que el rumbo a seguir es de 88,5o.

Para determinar la distancia, en la página correspondiente al rumbo 88o se deberá subir por la columna “E.W.” con el valor del apartamiento y por la columna “N.S.” con el Dj obtenido anteriormente. Aquí nuevamente se nos presenta el mismo problema: el valor del apartamiento supera los máximos tabulados en la tabla. Para resolver el dilema, dividiremos tanto al apartamiento (3.706’) como al Dj (94,2’)

por 20, y multiplicaremos por 20 el resultado obtenido.

A = 3.706 / 20 = 185,3’

Dj = 94,2’ / 20 = 4,71

Ingresamos a la tabla por la parte inferior hasta encontrar en la columna “E.W.” el valor más aproximado a 185,3’, y por la columna “N.S.” el valor más cercano a 4,71’. Como puede comprobarse en la figura No 102, el valor de nuestro apartamiento (185,3’) se encuentra comprendido entre las filas que contienen los valores 184,9’ y 185,9’, dando como resultado distancias de 185 y 186 millas náuticas, respectivamente.

Haciendo una interpolación aproximada entre ambos valores, podemos determinar que la distancia obtenida es de 185,5 millas náuticas. Procederemos a multiplicarlo por 20, tal como habíamos dicho.

D = 185,5 Mn x 20

D = 3.710 Mn.

En realidad, si se piensa detenidamente, el valor de la distancia recorrida en un rumbo de 90o debería ser igual al del apartamiento. En nuestro caso, y dado que el rumbo es muy cercano a 90o, el valor de la distancia resultante debería ser al menos, algo mayor que el del apartamiento, cosa que se cumple a la perfección (D = 3.710 Mn; A = 3.706 Mn).

Hemos determinado, a través de las tablas de estima, el rumbo verdadero al que se debe gobernar para unir a las ciudades de Montevideo y de Ciudad del Cabo, además de la distancia loxodrómica que las separa. Si cotejamos estos datos con los resultados obtenidos empleando las fórmulas matemáticas, al igual que en el caso de la estima directa, comprobaremos que las diferencias no son tantas, teniendo en cuenta los redondeos a que nos obliga el uso de tablas.

Con las fórmulas:

R = 88,5o

D = 3709,6 Mn

Con las tablas de estima:

R = 88,5o
D = 3710 Mn

Habiendo averiguado la distancia loxodrómica, sólo resta determinar la distancia que separa a ambas ciudades navegando por el círculo máximo y cotejar luego las diferencias.

Continua en: La Derrota Ortodrómica: El Triángulo Terrestre (Clase 42)

Darío G. Fernández
Director del ISNDF

Si desea realizar el curso de patrón de yate completo en nuestro instituto, puede contactarse con nosotros a través de nuestro teléfono Cel. (011) 15 5644-2888, o bien vía mail a secretaria@isndf.com.ar
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30/05/2024 by Instituto Superior de Navegación

Tablas de Estima: El problema directo (Clase 40)

Viene de Cálculo de la Loxodromia (Clase 39)

Las tablas de estima son sencillamente un conjunto de tablas que traen resueltas las fórmulas para el cálculo de la derrota loxodrómica, vistas anteriormente:

Dj = D x cos R A = D x sen R tg R = A / Dj

Dichas tablas contienen todos los valores ya calculados tanto de “apartamiento” (A) como de “diferencia de latitud” (Dj) para todos los rumbos posibles tabulados de grado en grado (0o a 360o), y para distancias de 1 a 300 millas náuticas. Cada página contiene los resultados para ocho valores de “Rumbo” diferentes, cuatro en el encabezado y otros cuatro al pie. En la columna de la izquierda de cada una de las tablas aparecen tabulados los valores de distancia de milla en milla.

Las tablas de estima han caído en desuso por varias razones. La fundamental de todas ellas es que hace ya muchos años han dejado de editarse y, para obtenerlas, es preciso conseguir copias de alguien que posea algún ejemplar. Por otra parte, a partir de la invención de las calculadoras electrónicas, el método resulta un tanto más engorroso que aplicar las fórmulas matemáticas. Además, si la navegación que se pretende encarar supera las 300 millas náuticas, el cálculo completo debería hacerse por parciales. Aun así, para navegaciones cortas y en las que no se pretende excesiva precisión, resultan un método sumamente rápido y práctico. Trataremos en estas páginas de explicar su utilización, y que el lector decida qué hacer.

El Problema Directo

Como sabemos, para la resolución del problema directo contamos con los datos del punto de partida (j1 y w1), el rumbo y la distancia recorrida, y se pretende determinar las coordenadas del punto de llegada. Para ello, se busca la página que contenga el rumbo al que se navega, entre los ocho rumbos que contiene cada página. Hecho esto se ingresa, o bien por la parte superior o bien por la parte inferior con el rumbo, y por la columna de la izquierda con la distancia, debiendo extraerse los valores de Dj de la columna “N.S.” (Norte-Sur), y de apartamiento de la columna “E.W.” (Este-Oeste), tal como se aprecia en la figura No 95.

Para convertir “apartamiento” en Dw puede utilizarse una segunda tabla, llamada “Tabla 1a”, que trae precalculada la fórmula Dw = A / cos jm para todos los valores posibles de latitud media (jm) y para valores de apartamiento de 1 a 100 millas. A dicha tabla se ingresa por la parte superior con el valor de la latitud media del lugar, y por la columna de la izquierda con el apartamiento, dando como resultado el valor de Dw (fig. 96).

En la mayoría de los casos, la “Tabla 1a” no se encuentra publicada, ya que la conversión de apartamiento a Dw puede hacerse utilizando directamente las tablas de estima, aunque su uso plantea alguna complejidad adicional.

Para obtener el valor de Dw a partir del apartamiento se debe ingresar a dicha tabla con el valor de la latitud media como si fuese el rumbo, y con el apartamiento en la columna Norte-Sur (N.S.). El valor de Dw resultante se extrae de la columna de “Distancia” (Fig. 97). 

Tal como se vio, el problema directo no presenta demasiados inconvenientes y su resolución es sumamente sencilla. El procedimiento completo sería:

• Se parte de un punto de salida con coordenadas conocidas (j1, w1).

• Se determina la distancia recorrida durante un determinado período de tiempo y el rumbo verdadero al que se navegó.

• Con los datos del rumbo y la distancia se ingresa a la tabla con el valor del rumbo en el encabezado, y el de la distancia en la columna correspondiente. Se obtienen de este modo los datos de Dj en la columna “N.S.” y de apartamiento en la columna “E.W.” (Importante: si se ingresa con el Rumbo por la parte inferior, las columnas “N.S.” y “E.W “se encuentran invertidas)

• Con el valor del apartamiento obtenido y la latitud media de la zona se ingresa a la tabla 1a y se extrae el valor del Dw. Tal como mencionábamos anteriormente, esto también puede hacerse utilizando las páginas principales.

• Hecho esto, sólo resta averiguar las nuevas coordenadas de llegada (j2 y w2) sumándole o restándole, según sea el caso, los valores de Dj y Dw obtenidos anteriormente, a las coordenadas de salida (j1, w1).

Como dijimos previamente, la fórmula Dw = A / cos jm no es del todo exacta

cuando las diferencias en latitud son importantes, debido al hecho de utilizar la latitud media como dato. Esta imprecisión se hace despreciable cuando las diferencias en latitud son mínimas. Si se pretende eliminar el error posible, las tablas de estima contienen una tabla pequeña en la primera página llamada “(1) CORRECCIÓN ADITIVA A LA LATITUD MEDIA jm PARA HACER EXACTA LA FÓRMULA A = Dw x cos jm” (Fig.98). A la misma debe ingresarse con la latitud media por la columna de la izquierda y con la diferencia de latitud por la parte superior. De la intersección entre ambas se obtiene un valor que deberá sumarse al Dw obtenido de la tabla anterior. En realidad, a los efectos prácticos, la utilización de esta tabla carece de sentido.

Para explicar la resolución del problema directo de un modo más comprensible procederemos a resolver el ejercicio de estima directa desarrollado en las páginas anteriores:

Habiendo zarpado desde j1= 32o 44,6’ S y w1= 32o 17,6’ E, y luego de haber recorrido una distancia de 282 millas náuticas a rumbo verdadero 68o. ¿Cuáles serán las coordenadas del punto de llegada?

En primer lugar, buscamos en las tablas la página que contenga los valores para el valor del rumbo 68o. Una vez allí procederemos del siguiente modo (Fig. 99):

• Se ingresa por la parte inferior con el valor del rumbo (68o).

• Se busca entre las columnas “Distancia” el valor que nos interesa. En este caso 282 millas. Debe tenerse en cuenta que, como mencionáramos anteriormente, las columnas “N.S.” y “E.W.” se encuentran invertidas respecto de los valores de rumbo de la parte superior de la tabla.

• Se extraen de la fila correspondiente los valores “N.S.” (105,6’) y “E.W.” (261,5’).

• Como ya vimos, el valor “N.S.” equivale a la diferencia de latitud (Dj), que en este caso es de 105,6’, lo que es igual a 1o 45,6’.

• El resultado obtenido de “E.W.” equivale al apartamiento. Al igual que la resolución por medio de los cálculos matemáticos, debe ahora convertirse el apartamiento en diferencia de longitud (Dw). Para ello utilizaremos la “Tabla 1a” (Fig. 100).

• Ingresamos a la tabla 1a por la columna correspondiente a la latitud media (recuerde el lector que en el ejercicio anterior habíamos adoptado una latitud media de 33o) y por la fila de la izquierda o derecha con el valor del apartamiento.

• El problema que surge aquí es que el valor máximo de apartamiento que contiene la tabla es de 100’, razón por la cual para ingresar con el valor del apartamiento obtenido (261,5’) debemos descomponerlo de la siguiente manera: 100’ + 100’ + 61’ (redondeamos 61,5’ a 61’ ya que la tabla no posee fracciones de minuto).

Para 100’ de apartamiento se obtiene una diferencia de longitud de 119,2’; mientras que para 61’ de apartamiento, la diferencia de longitud obtenida será de 78,7’. Por lo tanto Dw = 119,2’ + 119,2’ + 72,7’ = 317,1’, o sea 5o 11,1’.

Los valores obtenidos por medio de las tablas son:

Dj = 1o 45,6’ Dw = 5o 11,1

Con las fórmulas matemáticas:

Dj = 1o 45,6’ Dw = 5o 11,7’

Puede comprobarse que los resultados resultan casi idénticos a los obtenidos por el cálculo matemático. Las pequeñas diferencias se deben al hecho de redondear algunos valores a fin de usar las tablas. Para concluir el ejercicio, sólo resta sumar o restar los valores de Dj y de Dw a las latitudes de salida y de llegada, cosa que no repetiremos por haberlo hecho anteriormente.

Continua en: Tablas de Estima: el problema inverso (Clase 41)

Darío G. Fernández
Director del ISNDF

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